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公共教育学院(马克思主义学院)
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随机事件与概率
1．事件的关系 
2．运算规则 （1）
（2）
（3）
（4）
3．概率
满足的三条公理及性质：
（1）
（2）
（3）对互不相容的事件
，有
（
可以取
）
（4）
（5）
（6）
，若
，则
，
（7）
（8）
4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率
6．条件概率
定义：若
，则
乘法公式：
若
为完备事件组，
，则有
全概率公式： 
Bayes公式：
7．事件的独立性： 
独立
（注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
离散随机变量：取有限或可列个值，
满足（1）
，（2）
=1
（3）对任意
，
连续随机变量：具有概率密度函数
，满足（1）
；
（2）
；（3）对任意
，
几个常用随机变量
名称与记号 | 分布列或密度 | 数学期望 | 方差 |
两点分布 |
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二项式分布 |
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Poisson分布 |
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几何分布 |
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均匀分布 |
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指数分布 |
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正态分布 |
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分布函数 
，具有以下性质
（1）
；（2）单调非降；（3）右连续；
（4）
，特别
；
（5）对离散随机变量，
；
（6）对连续随机变量，
为连续函数，且在连续点上，
正态分布的概率计算 以
记标准正态分布
的分布函数，则有
（1）
；（2）
；（3）若
，则
；
（4）以
记标准正态分布的上侧
分位数，则
随机变量的函数 
（1）离散时，求
的值，将相同的概率相加；
（2）
连续，
在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则
，若不单调，先求分布函数，再求导。
第三章 随机向量
二维离散随机向量，联合分布列
，边缘分布列
，
有
（1）
；（2）
；（3）
，
二维连续随机向量，联合密度
，边缘密度
，有
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
，
二维均匀分布
，其中
为
的面积
二维正态分布
，其密度函数（牢记五个参数的含义）
且
；
二维随机向量的分布函数 
有
（1）关于
单调非降；（2）关于右连续；
（3）
；
（4）
，
，
；
（5）
；
（6）对二维连续随机向量，
6．随机变量的独立性 
独立
离散时 独立
连续时 独立
二维正态分布独立
，且
7．随机变量的函数分布
和的分布 
的密度
最大最小分布
第四章 随机变量的数字特征
1．期望
(1)离散时 
，
；
(2)连续时
，
；
(3)二维时
，
(4)
；（5）
；
（6）
；
（7）独立时，
2．方差
（1）方差
，标准差
；
（2）
；
（3）
；
（4）独立时，
3．协方差
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
时，称不相关，独立
不相关，反之不成立，但正态时等价；
（5）
4．相关系数 
；有
，
5．
阶原点矩
， 阶中心矩
第五章 大数定律与中心极限定理
1．Chebyshev不等式 
或
2．大数定律
3．中心极限定理
（1）设随机变量
独立同分布
，则
， 或
或
，
（2）设
是次独立重复试验中
发生的次数，
，则对任意
，有
或理解为若
，则
第六章 样本及抽样分布
1．总体、样本
简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；
样本数字特征：
样本均值
（
，
）；
样本方差
（
）样本标准差
样本阶原点矩
，样本阶中心矩
2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数
3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）
（1）
分布 
，其中独立同分布于标准正态分布，若
且独立，则
；
（2）
分布 
，其中
且独立；
（3）
分布 
，其中
且独立，有下面的性质 
4．正态总体的抽样分布
（1）
； （2）
；
（3）
且与
独立； （4）
；
（5）
，
（6）
第七章 参数估计
1．矩估计：
（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计
2．极大似然估计：
（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min
或max）
3．估计量的评选原则
(1)无偏性：若
，则为无偏； (2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；
4．参数的区间估计（正态）
参数 | 条件 | 估计函数 | 置信区间 |
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